수학의 모차르트_통계학탐험기

안녕하세요 다비드s입니다. 

오늘은 수학의 모차르트라고 여겨지는 인물의 이야기를 풀어가려고 합니다.

1) 콜모고로프의 전체적 업적

크게 구분하면 두가지로 나눌수 있습니다.

(1) 통계학, 확률론에 큰 업적 남겼습니다.

(2) 제자들에게 방향을 제시해 주었습니다. (쉬르야예프, 글리벤코 등 후학들)

2) 콜모고로프가 통계혁명과 관련해 해결한 2가지 문제 

*콜모고로프의 통계학 연구

 

(1) 확률에 대한 수학적 기초는 무엇인가를 제시하였습니다. (확률적 기초, 공리)

 

(2) 지진(지하 핵실험 등)이 발생하기전 발생되는 지진파처럼 시간에 걸쳐 수집한 자료(독립이 아닌 사건)를 분석하는 방법을 보였습니다.

* 확률과정에 관한 분석방법

(3) 측도론이라는 수학분야를 확률계산에 도입. 측도론을 바탕으로 확률론의 근본적인 공리를 발견하였습니다.

  * 확률의 공리

   ① 확률은 0~1사이의 값을 가진다.

   ② 모든 범위에서 확률의 합은 1이다.

   ③ 상호 배타적인 사건의 합사건의 확률은 각 사건의 확률의 합니다.

   - 확률계산의 유효성에 대한 모든 의문을 해소시키므로써 오늘날 확률에 대한 유일한 관점이 되었습니다.

(4) 확률과정(stochastic process)

- 시간에 걸쳐 측정함으로써 이전 자료와 연관을 갖는 자료를 지칭하는데 당시 모든 통계학자들은 통계적 방법을 적용하기 위해 모든 자료가 독립임을 가정하였습니다.

하지만 대부분의 자료는 독립이지 않고 이전 자료와 연관을 가지고 있었습니다.

(* 피셔의 아들 몸무게 측정 자료). 

그러나 콜모고로프의 선구적인 연구 덕에 이러한 확률과정을 분석할 수 있게 되었습니다.

 (* 전파망원경에 잡히는 여러 신호의 근원을 식별할 수 있게 되었고, 지진계에 기록된 지진파가 지진에 의한 것인지 지하 핵실험에 의한 것인지 식별 가능해졌습니다.)

3) 콜모고로프도 해결하지 못한 철학적 문제

(1) 실세계에서 확률은 무엇인가 ?

확률론은 콜모고로프가 만든 확고한 수학적 이론 때문에 내적 일관성을 가지고 있습니다. (내적 일관성이란 같은 방법을 쓰면 같은 결과가 나온다는 것으로 생각하면 됩니다.) 

 하지만 통계적 방법은 실세계의 문제에 적용되므로 확률에 대한 추상적인 모형에 대응하는 실세계의 개념을 찾아야 합니다. 왜냐하면 통계분석결과의 해석이 확률에 의존하기 때문입니다.

 (2) 확률론의 공리

기본사건으로 구성된 추상공간이 존재합니다.

추상 공간의 부분집합인 ‘사건’이 발생할 확률은 면적, 부피와 같이 측정 가능하다 가정을 하는것 입니다.

이 추상공간 상의 정의된 확률이란 측도가 확률론의 공리를 만족하면 이 추상공간을 ‘확률공간’ 이라 하고 실세계에서 확률을 사용하기 위해서는 이 추상공간에 대응하는 실세계의 개념을 정의해야 합니다.

고셋 : 추상공간은 모든 가능한 결과의 집합과 같다고 정의하였습니다.

 하지만 그 공간상에서 확률을 측정하는 방법은 설명하지 못하였습니다.

* 추상공간=복소수, 사건=허수 라면 복소수 중 허수일 확률은 못구한다는....

하지만 콜모고로프는 다른 방법으로 확률의 의미를 찾으려 노력하였습니다.

부가설명

콜모고로프는 소련사람이지만 소련이 통계학으로부터 아무것도 얻지 못한 이유가 있습니다.

정통 공산주의 이론이 통계활동에 영향을 미쳐 소련에서 수리통계학을 적용하는 연구가 급격히 위축되었다.

 (1) 전제군주 시대 후반과 러시아 혁명 초기에는 상당히 활발하게 연구되었습니다. 연방 내 각 공화국에도 통계국이 설치되었었습니다.

 하지만 ‘1930년 스탈린 시대(정통 공산주의).. 통계학을 사회과학의 한 분야로 취급. 공산주의 이론에 따르면 사회과학은 중앙정부 통제 하에 있어야 했습니다(예를 들어 계획경제). 

그러나 통계학의 ‘확률변수’는 러시아어로 “우연히 나타내는 양”이라는 용어로 쓰였으며  이는 곧 모든 산업과 사회활동은 마르크스와 레닌의 이론에 따라 수립되므로 어떤 것도 우연히 나타날 수 없다 라는 공산주의 이론에 모욕에 가까운 것이었습니다. (우연은 자본주의에나 나타날 수 있다고 생각하였다.)

따라서 통계학연구는 당연히 위축되는게 맞았습니다.

이에 따른 중앙통계국의 수치의 신뢰도는 하락하였고 이런 수치에 기반한 경제계획에 의해 토지황폐화, 공장 비효율화 심화되었습니다.

그러나 개선점 없이 여전히 변화율, 변화율의 변화율 등으로 눈속임을 하였습니다. 

  *반면에 미국은 전쟁수행에 활용(위너), 통계적 품질관리(슈하트 등) 등 산업에 활용하여 높은 품질과 결과를 얻을수 있었습니다.

다행히도 1990년대 말 소련 해체 후, 중앙정부 경제계획 시스템 붕괴되고 나서야 통계학이 러시아 산업에 적용되었다고 합니다.

이책을 읽고 난후 엄청난 통계학, 수리학자가 있었어도 사용법을 부정하면 어떠한 결과가 초래되는지 알게 되었습니다.

어떤 학문이든 배척하지 않는 사람이 되어야 겠다는 다짐을 하며 

글을 마무리하려고 합니다.

이상 다비드s였습니다.